Operasi Hitung Bilangan Bulat 2

Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat

Perkalian

• a x b = c
• a x -b = -c
• -a x b= -c
• -a x -b = c

Pembagian

• a : b = c
• a : -b = -c
• -a : b= -c
• -a : -b = c

Jika bertanda sama baik itu positif maupun negatif maka hasil perkalian bilangan bulat dan pembagian bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat positif.

Operasi Hitung Bilangan Bulat 1

Bilangan (Bulat) Positif

Penjumlahan Bilangan (Bulat) Positif

1. Bilangan Positif + Bilangan Positif = Bilangan Positif
   a + b = c
   4 + 5 = 9
2. Dua kemungkinan bilangan bulat positif dijumlahkan dengan bilangan (bulat) negatif:
• hasilnya bilangan bulat positif, jika bilangan bulat positif lebih besar dari bilangan bulat negatif yang dijumlahkan.
• a + ( -b ) = c
• -a + b = c
• hasilnya bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat negatif lebih besar dari bilangan bulat positif yang dijumlahkan.
• a + ( -b ) = -c
• -a + b = -c
3. Invers Bilangan Bulat
• a + - a = 0
• -a + a = 0
4. hasilnya dua kali dari bilangan yang dijumlahkan, jika kedua bilangan bulat positif bernilai sama.
   a + a = 2a

Pengurangan Bilangan (Bulat) Positif

1. Tiga kemungkinan bilangan bulat positif dikurangi dengan bilangan bulat positif :
• hasilnya bilangan bulat positif, jika bilangan bulat positif yang dikurangi lebih besar dari bilangan bulat positif yang mengurangi.
  a - b = c; a > b
• hasilnya bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat positif yang dikurangi lebih kecil dari bilangan bulat positif yang mengurangi.
  a - b = -c; a < b
• hasilnya bilangan nol, jika kedua bilangan bulat positif bernilai sama.
  a - b = 0; a = b
2. Bilangan (Bulat) Positif dikurangi bilangan negatif, 
• hasilnya bilangan bulat positif.
  a - (-b) = c
• hasilnya dua kali dari bilangan yang dijumlahkan, jika kedua bilangan bulat bernilai sama.
  a - ( -a ) = 2a

Bilangan (Bulat) Negatif

1. Bilangan Negatif + Bilangan Negatif = Bilangan Negatif
   -3 + ( -4 ) = -7
2. Dua kemungkinan bilangan bulat negatif dikurangi dengan bilangan negatif:
• hasilnya bilangan bulat positif, jika bilangan bulat negatif yang dikurangi lebih kecil dari bilangan bulat negatif yang mengurangi.
  -a - ( -b ) = c ; a < b
  -3 - ( -4 ) = 7 ; 3 < 4
• hasilnya bilangan bulat negatif, jika bilangan bulat negatif yang dikurangi lebih besar dari bilangan bulat negatif yang mengurangi.
  -a - ( -b ) = -c ; a

BILANGAN BULAT 2

BAB 1 PENGERTIAN BILANGAN BULAT

Ciri bilangan bulat

Ciri bilangan bulat adalah adalah suatu jenis bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan :

• bilangan (bulat) negatif,
  adalah bilangan bulat yang lebih kecil dari bilangan nol.
  contoh: { dan seterusnya -5, -4, -3, -2, -1 }
  bilangan bulat negatif lebih kecil dari nol dan bilangan bulat negatif lebih kecil dari bilangan bulat positif.
• (bilangan) nol,
  bilangan nol lebih kecil dari bilangan bulat positif dan bilangan nol lebih besar dari bilangan bulat negatif .
• bilangan (bulat) positif
  adalah bilangan bulat yang lebih besar dari bilangan nol.
  contoh: { 1, 2, 3, 4, 5,dan seterusnya }.
  bilangan bulat positif lebih kecil dari nol dan bilangan bulat positif lebih besar dari bilangan bulat negatif.
• bilangan ganjil
• bilangan genap
• tidak termasuk pecahan.

Bilangan bulat dalam bahasa inggris disebut integer number.
Lambang atau simbol atau notasi bilangan bulat adalah Z. Simbol bilangan bulat Z diambil dari bahasa Jerman yaitu Zahl.
Contoh latihan bab 1:

• Sebutkan himpunan bilangan bulat dari bilangan kurang dari 4 dan lebih besar dari bilangan -7!
• Sebutkan himpunan bilangan bulat antara bilangan -7 dan bilangan 4!

Cara mengerjakan latihan bab 1:

• garis bilangan
• himpunan bilangan
• himpunan penyelesaian
• menggunakan ciri bilangan bulat.

BAB 2 SIFAT URUTAN BILANGAN BULAT

Sifat atau relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat,
   1. a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b),
   2. jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b.
2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat,
   1. a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b),
   2. jika dan hanya jika b < a atau b + c = a untuk suatu bilangan positif.

Sifat-sifat urutan bilangan bulat (sifat trikotomi):

1. Sifat komparatibilitas
   1. Lebih kecil dari:
      1. Pada garis bilangan, a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan bilangan a berada di sebelah kiri titik yang menyatakan bilangan b. Karena bilangan a lebih kecil dari bilangan b.
      2. Misalkan: (-4) < (-1), terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan bilangan (-4) berada di sebelah kiri dari titik yang menyatakan bilangan (-1).
   2. Lebih besar dari:
      1. Pada garis bilangan, a > b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan bilangan a berada di sebelah kanan titik yang menyatakan bilangan b. Karena bilangan a lebih besar dari bilangan b.
      2. Misalkan: 7 > (-1), terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan bilangan 7 berada di sebelah kanan dari titik yang menyatakan bilangan (-1).
   3. Sama dengan: Pada garis bilangan, a = b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan bilangan a berada di posisi yang sama dengan titik yang menyatakan bilangan b. Karena bilangan a sama dengan bilangan b.
2. Sifat transitif
   1. Jika a < b dan b < c, maka a < c lalu a < b < c.
   2. Contoh: 17 < 25 dan 25 < 42, maka 17 < 42 lalu 17 < 25 < 42.

Contoh soal bab 2 :

• 18 .... 60
  simbol yang tepat untuk mengisi titik-titik di atas adalah ....
• Urutkan bilangan dari 32, 64 dan 80 adalah ....

Cara mengerjakan latihan bab 2:

• menggunakan garis bilangan
• menggunakan ciri bilangan bulat. Di bawah ini beberapa ciri bilangan bulat:
  • Sama-sama bilangan bulat negatif, contoh: -5 dengan -2. Bilangan 2 dan 5 memiliki tanda negatif.
  • Sama-sama bilangan bulat positif, contoh: 2 dengan 8. Tidak harus memiliki tanda karena merupakan bilangan bulat positif.
• jika bilangan bulat memiliki tanda yang sama di sebelah kiri bilangan. Gunakan nilai tempat bilangan. Contoh: bilangan -5 lebih kecil dari -2. Bilangan 8 lebih besar dari 3.

Daftar Pustaka:

• http://www.matematikaria.com/
• https://www.rumusmatematika.org/
• http://abdulraiz-raish.blogspot.com/
• https://artikel-kependidikan.blogspot.com/
• Drs. Doeta K.; Pintar Berhitung; Amanah Surabaya
• Drs. Faturochman; Rumus Matematika SD; Wahyumedia Jakarta
• dan dari berbagai sumber lain...

Bila ada pertanyaan kita diskusikan bersama atau bila ada kekurangan atau kesalahan penulisan silakan komentar di kotak komentar.

Topik yang berhubungan:
Bilangan bulat

Hitung Cepat Matematika 2 - daftar

1. Perkalian 
1. Satuan
1. lima
2. Puluhan
1. selisih satu dan jumlah satuan sepuluh.
2. yang sama
1. angka puluhan kedua bilangan sama, jumlah satuan kedua bilangan adalah sepuluh (10).
2. Perkalian Dua Bilangan
1. dua digit (satu puluhan / puluhan satu dan satuan)
2. dua angka yang puluhannya 9 dan satuannya sama.
3. kembar
3. Perkalian Bilangan Istimewa
1. Menggunakan bilangan dengan unsur dua dan lima (25; 2,5; 12,5; 1,25)
2. Menggunakan bilangan dengan unsur satu, nol dan satu (101; 1001; 10001)
3. Menggunakan bilangan dengan unsur sembilan (9, 99, 999).
4. Menggunakan bilangan dengan unsur tiga (33).
5. sebelas (11).
6. piramida sebelas.
7. menghasilkan bilangan kembar 11, 111, ...
8. menghasilkan bilangan yang selalu urut.
9. dua puluh lima (25).

(Kuadrat)

1. Menghitung kuadrat dari suatu bilangan (mendapatkan hasil dari bilangan kuadrat.
2. Pengurangan bilangan kuadrat
1. selisih satu.
2. selisih dua.
3. selisih tiga, lima, tujuh, sembilan.
3. Eskponen dengan jumlah 100.

1. Penjumlahan
1. yang selalu menghasilkan bilangan yang sama (bilangan puluhan kebalikan antara puluhan dengan satuan, antara bilangan penjumlah ruas kiri dengan ruas kanan).
2. bilangan berurutan (deret bilangan asli).
3. bilangan ganjil berurutan (deret bilangan ganjil).
4. bilangan genap berurutan (deret bilangan genap).

1. Pembagian
1. Menggunakan bilangan dengan unsur sembilan (9, 99, 999).
2. Ciri-ciri bilangan habis dibagi
1. dua.
2. tiga.
3. empat.
4. lima.
5. enam.
6. delapan.
7. sembilan.
8. sepuluh.
9. sebelas.
10. dua puluh lima.
11. lima puluh.
12. seratus.

Perkalian Silang Contoh Kelima

ab * cd
= a * c | ( a * d ) + ( b * c ) | b * d

47 * 53
= 4 * 5 | ( 4 * 3 ) + ( 7 * 5 ) | 7 * 3
= 20 | 12 + 35 | 21
= 20 | 47 | 21
= 2 ( 0 + 4 ) | 7 + 2 | 1
= 2 4 9 1

Skala Dalam Ilmu Statistika

Ilmu statistika memiliki banyak tipe skala. Klik di pengertian skala untuk melihat definisi dari skala.

Skala Nominal / Pengukuran Kategori:
merupakan skala yang digunakan untuk membedakan kategori variabel berdasarkan jenis dan macamnya. Jadi skala ini tidak menggunakan angka.
Contoh: jenis kelamin, nama kota.

Skala Numerik:
Ordinal
Interval
Rasio

Skala Ordinal
merupakan skala pengukuran yang sudah menyatakan peringkat antar tingkatan. Jarak atau interval antar tingkatan juga tidak harus sama.

Skala Interval
merupakan skala pengukuran yang bisas digunakan untuk menyatakan peringkat untuk antar tingkatan. Jarak atau interval antar tingkatan pun sudah jelas, hanya saja tidak memiliki nilai 0 (nol) mutlak.

Skala Rasio
merupakan skala pengukuran yang ditujukan pada hasil pengukuran yang bisa dibedakan, diurutkan, memiliki jarak tertentu, dan bisa dibandingkan.

Contoh-contoh

1. Skala Ordinal
• sikap responden; setuju, tidak setuju, sangat tidak setuju, kurang setuju.
• tinggi badan; pendek, sedang, tinggi.
2. Skala Interval
• berat badan dibagi menjadi tiga interval; 20-39 kg, 40-49 kg, 50-59 kg.
• tinggi badan dibagi menjadi empat interval; 100-129 cm, 130-159 cm, 160-189 cm.
• suhu atau temperatur dibagi menjadi empat interval; 0° c - 25° c, 26° c - 50° c, 51° c - 75° c, 76 ° c - 100° c.
3. Skala Rasio
• berat badan responden amir 55 kg, berat badan responden budi 60 kg. Rasio berat badan amir lebih ringan 0,9167 dibanding budi.
• tinggi badan agung 150 cm, tinggi badan hasan 175 cm. Rasio tinggi badan agung lebih pendek 30/35 dibanding hasan.

Perkalian Silang Contoh Keempat

23 * 41

ab * cd = a * c ( a * d + b * c ) b * d

= 2 * 4 ( 2 * 1 + 3 * 4 ) 3 * 1
= 8 ( 2 + 12 ) 3
= 8 ( 14 ) 3
= ( 8 + 1 ) 4 3
= 943

Perkalian Silang Contoh Ketiga

PERKALIAN CEPAT TEPAT DENGAN METODE PERKALIAN SILANG

98 * 99

Langkah Kesatu:
Kali vertikal angka terakhir atau kali satuan dengan satuan. Hasil digit pertama sebagai angka puluhan. Hasil digit kedua sebagai angka satuan.
= 8 * 9
= 72

Langkah Kedua:
Kali silang. Hasil digit pertama sebagai angka ribuan. Hasil digit kedua sebagai angka ratusan. Hasil digit ketiga sebagai puluhan.
= ( 9 * 9 ) + ( 8 * 9 )
= 81 + 72
= 153
Tambahkan hasil digit pertama dari langkah kesatu dengan hasil pada langkah kedua.
= 153 + 7
= 160
Dari langkah kesatu dan langkah kedua didapat
= 1600

Langkah Ketiga:
Kali vertikal angka pertama atau kali angka puluhan dengan angka puluhan. Hasil digit pertama sebagai angka ribuan. Hasil digit kedua sebagai angka ratusan.
= 9 * 9
= 81
Tambahkan hasil dari langkah kedua dengan hasil dari langkah ketiga.
= 8100 + 1600
= 9700

Langkah Keempat:
Jumlahkan digit kedua atau terakhir dari langkah kesatu dengan hasil dari langkah ketiga.
= 9700 + 2
= 9702

Perkalian Silang Contoh Kedua

PERKALIAN CEPAT TEPAT DENGAN METODE PERKALIAN SILANG

17 * 23

Langkah Kesatu:
Kali vertikal angka terakhir atau kali satuan dengan satuan. Hasil digit pertama sebagai angka puluhan. Hasil digit kedua sebagai angka satuan.
= 7 * 3
= 21

Langkah Kedua:
Kali silang. Hasil digit pertama sebagai angka ratusan. Hasil digit kedua sebagai angka puluhan.
= ( 1 * 3 ) + ( 7 * 2 )
= 3 + 14
= 17
Tambahkan hasil digit pertama dari langkah kesatu dengan digit kedua pada langkah kedua.
= 17 + 2
= 19
Dari langkah kesatu dan langkah kedua didapat
= 191

Langkah Ketiga:
Kali vertikal angka pertama atau kali angka puluhan dengan angka puluhan. Hasilnya sebagai angka ratusan.
= 1 * 2
= 2
Tambahkan hasil digit pertama dari langkah kedua dengan angka dari langkah ketiga.
= 2 + 1
= 3

Langkah Keempat:
Satukan hasil dari langkah kesatu, langkah kedua, dan langkah ketiga sesuai dengan nilai tempat masing - masing angka. Nilai tempat ratusan sebagai angka ratusan, nilai tempat puluhan sebagai angka puluhan, dan nilai tempat satuan sebagai angka satuan.
= 3 9 1

Perkalian Silang Contoh Pertama

PERKALIAN CEPAT TEPAT METODE PERKALIAN SILANG

14 * 12
Langkah Kesatu:
Kali vertikal angka terakhir atau kali satuan dengan satuan. Hasilnya sebagai angka satuan.
= 4 * 2
= 8

Langkah Kedua:
Kali silang. Hasilnya sebagai angka puluhan.
= ( 1 * 2 ) + ( 1 * 4 )
= 2 + 4
= 6

Langkah Ketiga:
Kali vertikal angka pertama atau kali angka puluhan dengan angka puluhan. Hasilnya sebagai angka ratusan.
= 1 * 1
= 1

Langkah Keempat:
Satukan hasil dari langkah kesatu, langkah kedua, dan langkah ketiga sesuai dengan nilai tempat masing - masing angka. Nilai tempat ratusan sebagai angka ratusan, nilai tempat puluhan sebagai angka puluhan, dan nilai tempat satuan sebagai angka satuan.
= 1 6 8

Perkalian Dua Digit Bagian Kedua

PERKALIAN DUA DIGIT BELASAN CARA KESATU

12 * 13
= 1 ( 2 + 3 ) 2 * 3
= 1 5 6

14 * 12
= 1 ( 4 + 2 ) 4 * 2
= 1 6 8

13 * 15
= 1 ( 3 + 5 ) 3 * 5
= 1 8 15

= 1 ( 8 + 1 ) 5
= 195

14 * 13
= 1 ( 4 + 3 ) 4 * 3
= 1 7 12
= 1 ( 7 + 1 ) 2
= 1 8 2

12 * 17
= 1 ( 2 + 7 ) 2 * 7
= 1 9 14
= 1 ( 9 + 1 ) 4
= 1 10 4
= ( 1 + 1 ) 0 4
= 2 0 4

14 * 18
= 1 ( 4 + 8 ) 4 * 8
= 1 12 32
= ( 1 + 1 ) ( 2 + 3 ) 2
= 2 5 2

Perkalian Dua Digit Bagian Pertama

PERKALIAN CEPAT TEPAT DUA DIGIT, PULUHAN SAMA, SATUAN JUMLAH SEPULUH

ab * ac
Syarat:

• Digit pertama sebagai puluhan harus sama. ( a = a )
• Jumlah dari digit kedua sebagai satuan harus sepuluh. ( b + c = 10 )

12 * 18
= 1 * ( 1 + 1 ) & 2 * 8
= 1 * 2 & 16
= 2 16

23 * 27
= 2 * ( 2 + 1 )  & 3 * 7
= 2 * 3 & 21
= 6 21

34 * 36
= 3 * ( 3 + 1 ) & 4 * 6
= 3 * 4 & 24
= 12 24

45 *45
= 4 * ( 4 + 1 ) & 5 * 5
= 4 * 5 & 25
= 20 & 25

51 * 59
= 5 * ( 5 + 1 ) & 1 * 9
= 5 * 6 & 9
= 30 09

66 * 64
= 6 * ( 6 + 1 ) & 6 * 4
= 6 * 7 & 24
= 42 24

Angka dan Bahasa

Ternyata angka dalam bahasa Indonesia memiliki sebuah kemudahan. Kemudahan untuk semua orang yang mempelajari angka dan matematika. Di mana kemudahannya? Mari anda baca dan pelajari tulisan di bawah ini. Ketika dua angka yang berinisial huruf awal yang sama, jika di jumlahkan hasilnya akan selalu sepuluh :

Bilangan berinisial S, satu + sembilan = Sepuluh

Bilangan berinisial D, Dua + Delapan = Sepuluh

Bilangan berinisial T, Tiga + Tujuh = Sepuluh

Bilangan berinisial E, Empat + Enam = Sepuluh

Bilangan berinisial L, Lima + Lima = Sepuluh.

Bukti Transaksi Dalam Akuntansi Bisnis

Bukti Transaksi Dalam Akuntansi (Bisnis / Keuangan)

Bukti transaksi berdasarkan lokasi transaksi dibagi dua:

1. Bukti Intern/Internal
1. (Bukti) Memo(rial) / (Bukti) Memo(randum)
2. Slip Gaji
2. Bukti Ekstern/Eksternal
1. Cek
2. (Bilyet) Giro
3. Nota
4. Nota Kontan
5. Nota Debet
6. Nota Kredit
7. Bukti Kas Masuk dan Keluar
8. Faktur
9. Kuitansi
10. Rekening koran
11. Bukti Setoran bank

Catatan:

► Kuitansi=Kwitansi (tidak baku)
► Bukti Intern biasa hanya dipakai di dalam pihak internal, seperti dalam toko, perusahaan, dan bentuk usaha lainnya.
► Bukti Ekstern biasa hanya dipakai di dalam pihak eksternal, seperti dalam toko, perusahaan, dan bentuk usaha lainnya.